SSIS, Scuola di Specializzazione all'Insegnamento Secondario
Corsi abilitanti 06/07

Fisica di Base 2 (20+20 ore), ottobre-dicembre 2006

[  ]

    Studio dell'andamento temporale di un processo di termalizzazione

Cominciamo con un piccolo esperimento di termologia, del quale vedremo un analogo circuitale e, successivamente, altri casi analogi tratti dalla meccanica, dalla fisica nucleare, dalla biologia, dalla demografia e dalla finanza.

• Studio empirico del processo di termalizzazione di un termometro
  • Materiale:
    • calorimetri (dei thermos con coperchio e buchi per agitatore);
    • termometro a mercurio con fondo scala a 100 gradi centigradi;
    • cappuccetti;
    • cronometro;
    • bollitore per scaldare l'acqua;
    • carte millimetrate di vario tipo.
  • Richiami di termometria:
    • dal concetto intuitivo di temperatura alla scala termometrica;
    • scala centigrada;
    • temperatura e quantità di calore;
    • capacità termica e calore specifico;
    • definizione della caloria;
    • conducibilità termica;
    • ruolo della conducibilità termica e della capacità termica negli scambi di calore: esempi della sauna e delle patate al cartoccio (meglio toccare l'alluminio o la patata?);
    • principio "zero" della termodinamica (alla base della termalizzazione);
    • temperatura di equilibrio: media pesata con le capacità termica;
    • conducibilità dell'acqua (a parte fenomeni convettivi): correnti marine;
    • ruolo dei cappuccetti e analogia con il piano inclinato di Galileo.
  • Concetto di logbook.
  • Grafici dei dati sperimentali e discussione sull'interpretazione.
  • Lavoro da continuare a casa, per ciascuna delle condizioni (caldo->freddo e freddo->caldo):
    • grafici di |T(t) - T_fin| su carta lineare e logaritmica (semilog);
    • studio dei rapporti |T(t+Δt) - T_fin| / |T(t) - T_fin|.
  
  Riferimenti:
  • Manuali standard, etc. [NOTA].
  • GdA, Le Basi del Metodo Sperimentale (anche nel cd distribuito): logbook, grafici e carte logaritmiche.

    Errori ed incertezze di misura

Prima introduzione critica ad alcuni concetti concernenti "errori" e "incertezze"

• Cenno alla Guida ISO.
• Concetto di "errore" e "incertezza" secondo la Guida ISO.
• Sorgenti di incertezza seconda tale guida. In particolare, discussione sull'errore di lettura e l'arbitrarietà del "dogma" della mezza divisione.

Riferimenti:

• GdA, Errori e incertezze di misura - Rassegna critica e proposte per l'insegnamento (anche nel cd distribuito): pp. 9-12.

    Ancora termometria e analisi numerica del processo di termalizzazione

Cerchiamo di capire il comportamento della temperatura del termometro in funzione del tempo osservato nell'incontro precedente.

• Come riscaldamento, esercizio sull'ordine di grandezza della potenza termica dissipata dal corpo umano.
• Misura del calore specifico dell'alluminio: progetto di un'attività di laboratorio:
  • materiale necessario;
  • formula dello scambio termico e e stima della massa dell'alluminio per avere una temperatura finale circa media di quelle iniziali;
  • pro e contro ad usare thermos;
  • misura con recipienti a bassa capacità termica ed elevata disperione di calore: estrapolazione delle temperature all'istante ideale di immersione dell'alluminio.
  • misura con thermos: stima preliminare della capacità termica del thermos, ovvero del cosiddetto "equivalente in acqua del calorimetro.
• Analisi del processo di termalizzazione:
  
  ove τ è ad una costante positiva con le dimensioni di un tempo.
  • Lettura delle formule 1), 4), 5) e 6).
  • Tasso di variazione di temperatura e analogia con la velocità.
  • Limiti per t->0 e t->infinito.
• Analisi numerica della Eq. 4) mediante R:
  • Seguito introduzione al linguaggio. In particolare: variabili e operazioni logiche; controlli di flusso while e for; 'vettori'; trattamento di valori speciali: NA, NaN e Inf; istogrammi e plot; esecuzione di 'script' (programmi in R).
  • Diagramma di flusso per implementare la 4) al fine di ottenere T(t), date le condizioni iniziali, il τ del processo, il Δt di discretizzazione e un valore di tolleranza per decidere quando è stato raggiunto il valore asintotico.
  • File con istruzioni R illustrate a lezione.
    Per salvare il plot su un file in formato png:
    > png( "nome_file.png", bg="white" )
    > plot( .... )
    > dev.off() (senza argomenti)
    [Si puo' usare anche jpeg() per formato jpeg e postscript() per eps. Inoltre, si possono definire le dimensione dell'immagine in pixel, ad esempio mediante
    > png( "nome_file.png", bg="white", width=1024, height=768 )]

Riferimenti:

• Appunti della lezione e manuali standard.

    Carica e scarica del condensatore

Passiamo ora al secondo esperimento, il quale, oltre ad avere analogie formali con la termalizzazione, presenta elementi di sorpresa per un effetto sperimentale al quale inizialmente non si pensa.

• Materiale:
  • basetta multifori;
  • resistenza da 30 MΩ (in pratica 3×10 MΩ);
  • condensatore da 2.2μF;
  • batteria da 4.5V;
  • cavetti e coccodrilli;
  • multimetro elettronico Fluke;
  • cronometro;
  • carte millimetrate di vario tipo.
• Esecuzione: cronometraggio carica e scarica.
• Sorpresa: il condensatore non si carica alla tensione della batteria.
  [Importanza didattica dell'effetto sorpresa.]
• Osservazione di cosa succede quando, essendo il condensatore carico, il multimetro viene sconnesso e poi riconnesso.
• Variazioni sul tema: esperimento ripetuto con 10 MΩ e 20 MΩ.
• Altra prova interessante (non effettuata nell'incontro): staccare il solo condensatore, mantenendo connessi, come nella configurazione precedente, generatore, resistenze e multimetro: che tensione avremmo letto?

Lavoro per casa: cercare di capire cosa succede, fare analisi in analogia all'esperimento del termometro e provare ad usare la carta logaritmica (versione stampabile in BMS-Parte1, anche su cd distribuito).

Da ripassare: ABC dei circuiti in corrente continua (legge di Ohm etc., possibilmente anche Thevenin), condensatore e legge di carica e scarica.

    Imparare dagli esperimenti (bayesiano): approccio probabilistico

In generale, effettuato un esperimento, non siamo mai assolutamente certi delle conclusioni che ne derivano, sia per quanto riguarda la determinazione dei valori di grandezze fisiche (vedi prima lezione) che la scelta fra le diverse (infinite) teorie che possono spiegare le osservazioni. Se quantifichiamo la nostra incertezza con una scala di probabilità, intesa quanto crediamo ai diversi effetti data una causa, o alle diverse cause dato un effetto, l'aggiornamento della probabilità alla luce delle osservazioni è effettuato mediante il Teorema di Bayes.

• Probabilità 'soggettiva';
• Significato della probabilità condizionata; (la probabilità e sempre condizionata: informazione di 'background' I_o)
• Formula che lega la probabilità (ri-)condizionata alla probabilità congiunta e a quella della condizione aggiuntiva:
  
• Probabilità diretta e 'probabilità inversa'; inferenza probabilistica.
• Teorema di Bayes in termini di cause ed effetti:
  
  probabilità 'a priori' (o iniziale) e 'a posteriori' (o finale).
• Esempi:
  • Abbiamo tre scatole, con diversi contenuti di palline bianche e nere (i numeri potrebbero differire da quelli usati a lezione, trattandosi di esercizio improvvisato):
    • A: 4B e 4N;
    • B: 4B e 8N;
    • C: 9B e 1N.
    Scegliamo una scatola a caso (ovvero non sappiamo se si tratta di A, B o C): quanto valgono P(A), P(B), P(C)? (informazione di background è sottintesa)
    Poi estraiamo una pallina ed osserviamo che essa è nera: calcolare P(A|N), P(B|N), P(C|N).
    Reintroduciamo la pallina nella scatola, mischiamo ed eseguiamo una seconda estrazione, ottenendo una pallina bianca: calcolare P(A|N,B), P(B|N,B), P(C|N,B).
    Etc. (uso sequenziale del Teorema di Bayes).
  • Immaginamo di avere in una scatola 10 monete di cui 9 regolari (R) e una 'falsa' con due teste (F). Estraiamo una moneta e senza guardarla la lanciamo: il risultato è testa: calcolare P(F|T) e P(R|T).
    Successivamente, lanciamo più volte la stessa moneta (ovvero senza rimetterla mai nella scatola, ma senza poterne osservare entrambe le facce) e otteniamo la seguente seguenza TTTC: calcolare come varia la probabilità in funzione degli esiti osservati: P(F|TT), P(F|TTT), P(F|TTTT), P(F|TTTTC).
• Teorema di Bayes per variabili continue e suo uso per l'inferenza del valore 'vero' (μ) di una grandezza fisica sotto ipotesi di distribuzione gaussiana degli errori e di prior uniforme (limite di 'prior molto vaga'), avendo osservato x:
  
• Se, invece di una singola osservazioni abbiamo un campione di molte osservazioni indipendenti abbiamo (formula non dimostrata a lezione):
  

Riferimenti:

• Dispensa "Probabilità e incertezza di misura": Parte 1, Par. 4.6 e primi 8 paragrafi del Capitolo 5; Parte 4, Par. 11.1 e 11.2.
  (Versione stampabile qui).
• Errori e incertezze di misura - Rassegna critica e proposte per l'insegnamento (anche nel cd distribuito): pp. 28-39.

Altri link consigliati:

• Dalle osservazioni alle ipotesi scientifiche.
• Quanto credere alle diverse ipotesi scientifiche alla luce delle osservazioni sperimentali? (con video della conferenza).

    Ancora sulla carica e scarica del condensatore

Un po' di ripasso su concetti elementari dei circuiti per capire i "misteri del condensatore" manifestatisi durante l'incontro precedente.

• Generatore, resistenze e legge di Ohm.
• Resistenze in serie e in parallelo.
• Potenza dissipata per effetto Joule.
• Partitore di tensione e partitore di corrente.
• Teorema di Thevenin e di Norton.
• Perturbazioni introdotte da strumenti di misura di di tensione e corrente.
  • V_m = V_o / (1 + R_eq/ R_V);
  • I_m = I_o / ( 1 + r_A/R_eq).
• Voltmetro ideale e amperometro ideale.
• Analisi del circuito usato nell'esperimento del 4 novembre mediante il teorema di Thevenin:
  • Tensione asintotica di carica del condensatore.
  • Costante di tempo del circuito (τ).
  • Come ricavarsi τ dai dati sperimentali? (Domanda in sospeso dall'incontro scorso: cercare di RISPONDERE! Usare anche CARTA SEMILOG!)
  • Come ricavarsi R_V dai dati sperimentali? (Qualcuno lo aveva già fatto, e correttamente.)

Riferimenti

• Appunti della lezione e testi standard.
• Le Basi del Metodo Sperimentale (anche nel cd distribuito): pp. 99-105 della prima parte (grafici e carte semilog).

    Studio di una molla: determinazione di k e g

Misura di allungamento e periodo di oscillazione di una molla, con il fine di misurare il 'k' della molla e l'accelerazione di gravità g.
Riferimenti

• Per l'analisi dei dati, seguire la traccia di analoga esperienza riportata su Le Basi del Metodo Sperimentale (anche nel cd distribuito); in particolare si vedano le pagine: 27-31 e 90-98.
• Vedi anche pp. 72-75 di Errori e incertezze di misura - Rassegna critica e proposte per l'insegnamento (anche nel cd distribuito)

    Ancora su andamenti esponenziali

Trattazione analitica del processo di termalizzazione e di processi simili (carica/scarica condensatore e decadimenti radioattivi) e analisi grafiche con carta logaritmiche.

• Riprendiamo le equazioni del processo di termalizzazione del 4 novembre, riscritte con i differenziali (ovvero ΔQ -> dQ, etc). In particolare, la (5) diventa dθ/dt = - θ/τ, la quale può essere integrata per separazione di variabili, dando θ(t) = θ₀ e ^-t/τ.
• Significato di τ e sua stima empirica. Relazione fra tempo di dimezzamento e costante di tempo: t_1/2 = τ ln(2).
• Essendo θ = T - T_A, otteniamo
  T(t) - T_A = [ T₀ - T_A] e^-t/τ, ovvero
  T(t) = T_A + [ T₀ - T_A] e^-t/τ.
• Velocità di termalizzazione derivando T(t):
  dT/dt = - [ (T₀ - T_A) / τ] e^-t/τ.
• Generalizzazione del problema (per future applicazioni): ogni volta che una generica grandezza z varia nel tempo con una velocità che dipende linearmente dalla differenza istantanea rispetto ad un valore asintotico z_A, ovvero
  dz/dt = - (z - z_A) / τ,
  z varia nel tempo nel modo seguente
  z(t) = z_A + [ z₀ - z_A] e^-t/τ.
• Legge di carica scarica del condensatore, dato generatore di tensione V_G (per la scarica basta porre V_G a zero), resistenza R e capacità C.
  • Essendo l'intensità di corrente legata alla variazione nel tempo della carica del condensatore [ I = dQ/dt ] e alla differenza di tensione fra V_G e V_C mediante la legge di Ohm [ I = (V_G - V_C) / R ], otteniamo dQ/dt = (V_G - V_C) / R e, ricordandoci che Q = C V_C, otteniamo: dV_C / dt = - (V_C - V_G) / CR.
  • Chiamando τ la costante CR avente le dimensioni di un tempo e notando la perfetta analogia con il caso precedente, otteniamo immediatamente la soluzione cercata:
    V_C(t) = V_G + [ V₀ - V_G] e^-t/τ.
  • Per ottenere le leggi speciali di carica e scarica, basta ricordare che per la carica V₀ = 0, mentre per la scarica V_G = 0.
• Decadimenti radiattivi
  • La percentale di nuclei che decadono in un dato tempo è costante (in realtà si tratta di un valore medio, con piccolissime fluttuazione intorno al valore medio, essendo molto grande il numero di nuclidi interessati): ΔN/N = - Δt/τ, avendo indicato con τ l'inverso della costante di proporzionalità fra ΔN/N e Δt (il segno '-' sta ad indicare che ΔN < 0, in quanto N decresce per effetto dei decadimenti).
  • Passando ai differenziali e otteniamo
    dN / dt = - N / τ = - (N - 0) / τ,
    ove l'aggiunta dello zero serve sia a ricordarci che esso sarà il valore asintotico quando tutti i nuclei saranno decaduti che a ricondurci agli analoghi casi precedenti.
  • La soluzione è quindi
    N(t) = N₀ e^-t/τ.
  • In questo caso la costante di tempo τ è anche nota come 'vita media', in quanto:
    • la probabilità che ciascun nuclide decada al tempo t (da un generico istante 0 preso in considerazione -- e non da quando il nuclide è 'nato'!) è descritta da una distribuzione (densità di probabilità) esponenziale f(t) = e^-t/τ / τ, la quale ha valore atteso (o media) τ;
    • la probabilità che un nucleo decada fra 0 e dt vale quindi f(0)dt = dt / τ e, avendo in quell'istante un numero N di nuclidi, ce ne aspettiamo che che ne decadano N ( dt / τ), ovvero che la variazione sia dN = - N dt / τ, riottenendo quindi dN / dt = - N/τ.
  • Linearizzazioni e uso di carte logaritmiche. (Nota: 'log' sta per logaritmo naturale, anche indicato con 'ln'.)
    • Linearizzazioni mediante trasformazioni di variabili [es. T in funzione di sqrt(m) ].
    • Analisi grafica di andamenti lineari: come ricavarsi m e c di un andamento del tipo "y = m x +c".
    • Linearizzazione di andamenti esponenziali "y = a e ^bt" mediante i logaritmi: log(y) = log(a) + b t.
      Si riconosce c <-> log(a) e m <-> b. Nel caso di interesse di esponenziali decrescenti b = -1/τ.
    • Uso di carta logaritmica: esercizio di scrittura di alcuni valori: per seguenti valori di t, in millisecondi, 0, 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, abbiamo i corrispondenti valori di tensione: 40.0, 17.4, 7.56, 3.28, 1.43, 0.620, 0.270, 0.117, 0.0509.
    • Come ricavari i parametri a e b (ovvero 'm') dell'andamento esponenziale, in particolare m = 'Δlog(y) / Δx'.
    • Esercizio con i dati forniti (simulati): -> deve venire τ = 60 ms.
    • Applicare il metodo sui dati veri (termometro e condensatore), ricordandosi che la grandezza che varia esponenzialmente è T(t)-T_A, se T(t)>T_A, o T_A-T(t) nel caso opposto.
    [Per i riferimenti riguardo grafici, linearizzazioni e carte logaritme, vedi lezioni precedenti (opportuni paragrafi di "Basi del Metodo Sperimentale").]
• Studio empirico della fondamentale proprietà Δθ/θ = - Δt/τ degli andamenti esponenziali e stima di τ senza fare uso dei logaritmi.
  • Riscrivendo Δθ = θ(t + Δt) - θ(t), sostituendo in Δθ/θ = - Δt/τ otteniamo
    θ(t + Δt) / θ(t) = 1 - Δt/τ.
  • Chiamando r il rapporto costante 1 - Δt/τ fra due valori successivi di θ otteniamo un modo per a) verificare che un andamento obbedisca alla Δθ/θ = - Δt/τ senza far uso dei logaritmi; b) valutare τ da misure (opportunamente mediate) di r, in quanto τ = Δt / (1 - r).
  • Applicazione ai dati sperimentali (nel caso del termometro il calcolo di r era stato raccomandato, come metodo empirico, fin dall'incontro del 28 ottobre).

    Moto del corpo rigido vincolato a ruotare su un asse

Brevi cenni alla cinematica e meccanica e cinematica dei corpi rigidi, sviluppata per analogia a partire da un'equazione analoga a 'F = m a' dimostrata a lezione.

• Inerzia dovuta alle masse di un corpo ruotante a partire dalla conservazione dell'energia meccanica.
  • Disco rigido 'senza massa' (ovvero trascurabile), con una massa m_i posta alla distanza r_i dal centro e con una forza F_j che agisce a distanza r_j dal centro e diretta ortogonale al segmento che va dal suo punto di applicazione al centro del disco.
  • Lavoro effettuato dalla forza quanto il disco ruota di dθ: dL_j = F_j ds = F_j r_j dθ = F_j r_j ω dt.
  • Variazione di energia cinetica della massa m_i: dE_{c i} = m_i v_i dv_i = m_i (r_i ω) (r_i dω) = m_i r_i² &omega dω.
  • Essendo dL_j = dE_{c i}, otteniamo
    F_j r_j = m_i r_i² dω/dt.
  • Se abbiamo tante forze e tante masse otteniamo
    Σ_j F_j r_j = ( Σ_i m_i r_i² ) dω/dt,
    la quale ha una forma che richiama F = m a, se notiamo che dω/dt è una accelerazione angolare, indichiamo con M il membro a sinistra e con I il fattore di proporzionalità fra accelerazioe angolare e M: momento di inerzia e momento delle forze.
  • Se qualche forza non è ortogonale al segmento che va dal suo punto di applicazione al centro del disco, basta 'selezionarne' la componente ortogonale mediante opportuna funzione trigonometrica (-> da cui il famoso prodotto vettoriale che si incontra in questo contesto).
• Dall'analogia di base tutte le altre 'regole del gioco' vengono dedotte per analogia: momento della quantità di moto e sua eventuale conservazione; lavoro; potenza; energia cinetica.
  [ Vedi dettagli a pag. 133-135 (par. 31.2-31.4) degli appunti di Fisica 1 per Informatici (vedi qui, anche sul cd distribuito, file F1_lezioni.pdf)].
• Energia cinetica totale di un corpo rigido: rotazionale e traslazionale. Condizioni di equilibrio di un corpo rigido.
• Caso generale e definizioni formali di momento delle forze e momento della quantità di moto: loro natura vettoriale, 'dimostrata' attraverso l'esperimento del giroscopio.
• Peculiarità e implicazioni dell'inerzia dipendente dalle masse e dalle loro configurazioni spaziali: variazione di velocità angolare causata da ridistribuzione delle masse.
• Alcuni esempi in cui i 'momenti' acquistano un ruolo chiave:
  • 'Ballerina'; corpo ruotante tirato verso il centro (controesempio: trenino su binario spiraleggiante).
  • Innalzamento del muso o della coda di auto e moto in accelerazione/frenata e sua rilevanza ai fini dell'efficienza del trasferimento di potenza e della frenata.
  • Il motivo per cui i dragster hanno il muso lungo.
  • Momento della quantità di moto e velocità areolare (-> II legge Keplero).
• Analogia fra alcuni concetti legati alle distribuzioni di massa ed alri legati alle distribuzioni di probabilità: centro di massa ('baricentro'), momento di inerzia, relazione fra momento di inerzia rispetto al baricentro e momento di inerzia rispetto ad un altro punto (teorema di Huygens-Steiner).
  Per dettagli vedi pp. 71-72 di Le Basi del Metodo Sperimentale (anche su cd distribuito).

FINE

Fisica di Base 1
Back to G. D'Agostini SSIS
Back to G. D'Agostini teaching page
Up to G. D'Agostini page