G. D'Agostini - Teaching: SSIS

SSIS, Scuola di Specializzazione all'Insegnamento Secondario
Corsi abilitanti 06/07

Fisica di Base 1 (20+20 ore), ottobre-dicembre 2006

[ ]

28 Ottobre

Il secondo, il metro e il pendolo

R: Un potentissimo, documentatissimo e supportatissimo programma di scripting open source e multipiattaforma, utile sia per gli insegnanti che per gli studenti ('supercalcolatorino', linguaggio di programmazione, tools grafiche ad altro in un solo programma gratuito).

Prima, brevissima (e disturbata...) introduzione.
Uso di R come supercalcolatrice.
Scrittura di funzioni elementari.
Riferimenti:
- Punto di partenza, con le slides presentate a lezione, esempi e link vari.
  I primi esempi illustrati a lezione si trovano nel file basi.R.
- Programma di installazione per windows, sorgenti 'tgz' per Linux e varii tutorial sono inclusi nel cdrom distribuito.
  Note per utenti Linux (che essendo mediamente più scafati si dovrebbero arrangiare...):
  - Per compilare dai sorgenti e produrre la documentazione, mettere il R-2.4.0.tar.gz in una certa directory ('mydir'), eseguire (anche da normale user)
       > tar -xzf R-2.4.0.tar.gz
       > cd R-2.4.0
       > ./configure && make && make check && make dvi && make pdf && make info  (e farsi una passeggiatina)
    A questo punto, l'eseguibile sarà 'mydir'/R-2.4.0/bin/R
    Per comodità si puo' creare un link a tale eseguibile (da root):
       > ln -s 'mydir'/R-2.4.0/bin/R /usr/local/bin/
    oppure lo si può 'installare' mediante il classico "make install".
  - Esistono anche dei pacchetti compilati per alcune distribuzioni (vedere un mirror di R).
  - In particolare, chi usa Debian o uno dei vari dialetti di Ubuntu trova R fra i pacchetti installabili e, infine, R è presente sui Knoppix dvd e derivati (ad esempio Quantian).
- Per installare altri pacchetti (ad esempio 'sudoku') direttamente dalla rete (per chi ha l'ADSL), è sufficiente usare il comando "install.packages()" dall'interno di R. Ad esempio, nel caso del sudoku:
  > install.packages("sudoku")
  [se il programma protesta perché manca qualcosa, bisogna installare prima il pacchetto mancante].

4 Novembre

Il secondo, il metro e il pendolo (seguito)

Dettagli su alcune questioni di fisica incontrate durante la lezione scorsa

Si prende spunto da alcuni concetti incontrati durante la presentazione storica, sui alcuni dei quali erano anche stati proposti degli esercizietti. Secondo l'impostazione di queste lezioni, da un concetto si passa ad altri mediante analogie, richiami, implicazioni etc.

Giorno siderale e giorno solare (vedi figura su wikipedia).
- Dimostrazione grafica della relazione fra numero di rotazioni per rivoluzioni e numero di tramonti (ovvero di 'giorni solari') per rivoluzione:
  (n-1) 'giorni' <---> n rotazioni
  ( significato della corrispondenza -1 <---> 0 )
  => 365 D_sol = 366 D_sid.
- Angolo φ che la Terra deve ancora ruotare, dopo aver fatto un giro completo intorno al proprio asse, affinché si osservi il sole nella stessa posizione (es. sorgere del sole):
  => Δt = D_sid/365, da cui D_sol = D_sid/365 + Δt, etc.
- Angolo ψ lungo l'orbita della Terra intorno al Sole affinché si osservi il nuovo sorgere del sole: -> nel frattempo la Terra è ruotata di 2π + ψ:
  => D_sol = D_sid / (1 - D_sid/1y).
  [Le altre valutazioni possono essere viste come approssimazioni di quest'ultima formula.]

Misura delle velocità delle luce dalle lune di Giove ed effetto Doppler.

Scala spaziale e temporale del problema: unità astronomica (AU) e anno (y).

Distanze dal sole e periodi di rivoluzione dei pianeti del sistema solare:

Pianeta	Distanza media dal Sole (AU)	Periodo rivoluzione (y)	Velocità rivoluzione (km/s)
Mercurio	0.39	(*)	(**)
Venere	0.72	(*)	(**)
Terra	1	1	(**)
Marte	1.52	(*)	(**)
Giove	5.20	(*)	(**)
Saturno	9.52	(*)	(**)
Urano	19.6	(*)	(**)
Nettuno	30	(*)	(**)

(*) Completare usando la terza legge di Keplero, per la quale è opportuno definire la costante k = R³/ T² = 1 AU³/y².
(**) Completare, ricavandosi prima la formula generale che dà velocità del pianeta (assumendo orbita circolare) in funzione della distanza dal Sole.

Differenza di periodo misurato dalla Terra di un fenomeno periodico su Giove (occultazione di Io, periodo 42.5h), quanto la Terra è in una posizione tale che il suo vettore velocità è parallelo alla direzione di provenienza del segnale luminoso osservato:

ove v > 0 se la Terra si allontana da Giove.
Essendo v circa 30 km/s, il periodo osservato dalla Terra differisce, al massimo, da quello vero di una parte su 10000: -> 15s.
Si noti che la relazione (4), valida per qualsiasi fenomeno periodico, incluso segnale sonoro o onda elettromagnetica (c sta genericamente per velocità del segnale), è stata ottenuta, in approssimazione non relativistica, quando l'osservatore si muove e la sorgente è ferma. Nel caso opposto (sorgente si allontana e osservatore fermo), si ottiene un'altra relazione formula, che si riduce alla (4) per piccoli v/c.
Effetto Doppler in diversi contesti e sue diverse applicazioni (importante: per capire/spiegare l'essenza dell'effetto Doppler non è necessario conoscere/assumere la teoria delle onde):
- variazione di frequenza di sirene e auto;
- red shift e suo utilizzo per la misura della velocità di galassie lontane;
- misura di velocità di veicoli ('autovelox');
- misura della velocità del sangue (in medicina i termini con "Doppler" sta per misura di velocità)

Forza gravitazionale fra sfera omogenea e punto materiale.
- Accelerazione di gravità sulla superficie terrestre, g = 4/3 π ρ G R, deriva da F = GMm/R². Perché possiamo considerare tutta la massa della Terra nel suo centro?
  - Calcolo con 'forza bruta': sommare tutte le forze su m dovute a tutti gli elementi di massa della sfera terrestre.
    - Dettagli sull'integrale: versione ps e pdf.
    - Notebook di Mathematica (cliccare con tasto destro e scaricarlo).
      Versione html (solo per vedere conti e risultato).
  - Uso del teorema di Gauss
    - Teorema di Gauss è generalmente conosciuto solo per campo elettrico: Φ(E) = Σ_iQ_i/&epsilon₀.
    - Analogia fra flusso del campo e flusso luminoso ('lumen'); fra campo e illuminamento ('lux'). Visualizzazione mediante lavagna luminosa.
    - Analogia forza elettrica e forza gravitazionale: entrambe vanno come 1/R²; in entrambe i contributi sono additivi; le masse nella formula della forza stanno per 'cariche' gravitazionali.
    - Massa inerziale e massa gravitazionale.
    - Forza di Newton <--> forza di Coulomb: k(=1/4π&epsilon₀) <--> -G.
    - Campo gravitazionale G (in analogia a campo elettrico): forza per unità di massa: corrisponde ad accelerazione di gravità in quel punto.
    - Teorema di Gauss nel caso gravitazionale: Φ(G) = -4π G Σ_iM_i.
    - Applicazione del teorema di Gauss gravitazione a superficie gaussiana sferica di raggio R, con masse confinate in sfera omogenea di raggio R_T <= R.
      Usando simmetria sferica:
      4πR²G = -4π G M_T --> G = -G M_T/R² --> F_G = -G M_Tm/R²
  - Massa m all'interno della Terra:
    - Gli elementi di massa di ciascun guscio sferico omogenero e concentrico con la superficie terrestre danno risultante delle forze nulla.
      - Questo può essere provato direttamente facendo l'integrale (vedi sopra - per il caso generale vedi il teorema dei gusci, la cui dimostrazione è ovviamente fuori programma),
      - oppure si può pensare a tutte le coppie di elementi di massa opposte: ovunque sia m all'interno del guscio, la distanza viene compensata dalla diversa massa intercettata da coni opposti (vedi figura originale dai Principi di Newton, Sec. XII, prop. LXX, Th. XXX - il testo è una traduzione, in quanto notoriamente il Principia furono scritti in latino).

Alcuni problemini sui quali meditare in preparazione dei prossimi incontri: Versione ps e pdf.

25 Novembre

Divulgazione ... di sciocchezze

Il cane che va avanti e indietro

Prendiamo spunto dal problema nr. 3 dei 'problemini sui quali meditare'.

Contesto del problema: cinematica con velocità costante; grafici orari; incontri fra treni; coordinate curvilinea unidimensionale; approssimazioni implicite (tempi di accelerazione/decelerazione trascurabili).
Soluzione del 'matematico algebra oriented':
1. istante e posizione del primo incontro (interpretare le formule e abituarsi a giudicarne la ragionevolezza grazie sia a considerazioni dimensionali che ad opportuni limiti);
2. istante al quale il cagnolino ritorna al casa e posizione del padrone a quest'istante;
3. da questo istante il problema 'riscala'.
Chiamando d la distanza iniziale del padrone, v la sua velocità e αv la velocità del cagnolino, con α>1, lo spazio percorso dal cagnolino si ottiene sommando tutti gli infiniti tratti di andata e ritorno ottenendo:

(Si rigrazia Mathematica per il calcolo della serie).
Soluzione del 'matematico geometry oriented':
- si tracciano i grafici orari del cammino del padrone e del cane;
- si osserva che il percorso a zig-zag (nel tempo) del cagnolino può essere opportunamente rettificato (vedi appunti) e siccome le pendenze (in modulo) del percorso del padrone e di quello rettificato del cane sono proporzionali alle rispettive velocità, si ottiene
  (d_c / t) / (d / t) = (α v) / v, da cui d_c = α d.
Soluzione del 'fisico' (ovvero di chi ha capito la fisica del problema): il cane viaggia a velocità α v durante tutto il tempo d / v che il padrone impiega a tornare a casa, percorrendo in totale α v × (d / v) = α d .

Variazioni sul tema che mostrano come la soluzione corretta si ottiene (rapidamente) pensando alla variabile tempo.

Semplici problemini, al primo dei quali si risponde generalmente in modo errato per fretta o errata intuizione.
- Una macchina viaggia per un tratto a velocità v₁ e per un secondo tratto, pari al primo, a velocità v₂. Quanto vale la velocità media sull'intero percorso?
- Una macchina viaggia per un certo tempo velocità v₁ e per un secondo tempo, pari al primo, a velocità v₂. Quanto vale la velocità media sull'intero percorso?
Signore che porta il cane a spasso e che, per farlo correre il più possibile durante la passeggiata, gli lancia ripetutamente un bastoncino, che ogni volta il cane riporta al padrone. Per massimizzare il percorso fatto dal cane conviene lanciare il bastone avanti o indietro (o di lato)?

Profondità del pozzo

Problemini 4 e 5, con divagazione su temi connessi.

Contesto del problema: moto qualsiasi ed, in particolare, moto uniformemente accelerato:
- concetto intuitivo e generale (non solo cinematico) di 'velocità (e accelerazione - "la produzione ha subito una brusca accelerazione");
- grafici orari per moto arbitrario unidimensionale;
- s(t) -> v(t) -> a(t) dalle 'pendenze';
- a(t) -> v(t) -> s(t) dagli incrementi (di v o di s) per piccoli intervalli di tempo:
  - interpretazione numerica di Δs = Σ_i Δs_i = Σ_i v_i Δt_i (ed analoga per Δv).
    Esempio di soluzione numerica mediante R di un caso risolvibile anche analiticamente.
  - interpretazione geometrica della stessa espressione: Δs come area sotto la curva v(t) e Δv sotto la curva a(t):
    esempio: moto uniformemente accelerato con il metodo delle aree, confrontato con quello, altresì elementare, basato sulle velocità medie (quello con gli integrali lo si dà per noto).
- Classici problemi con moto uniformemente accelerato:
  - caduta gravi;
  - problema della frenata e valutazione dimensionale della dipendenza della distanza da velocità iniziale e decelerazione;
  - problema della gittata senza passare per la traiettoria (ovvero usando solo equazioni parametriche x(t) e z(t), senza z(x)).
- Soluzione numerica con R del problema della gittata, incluso il calcolo (analiticamente non banale!) dello spazio totale percorso e con la possibilità di includere anche la resistenza dell'aria (ne parleremo al prossimo incontro): script gittata.R,
  [ Screenshots con dt=0.01s, v0=10 m/s, alpha = 45^o e β/m=2 (gittata: 3.11 m; altezza max: 1.33 m; spazio percorso: 4.37 m).
  - traiettoria z(x) ]
Informazioni accessorie necessarie per risolvere il problema del pozzo:
- Velocità del suono usando calcolo dimensionale.
- Densità dell'aria usando l'equazione di stato dei gas.
En passant:
- Soluzione del problemino nr. 6 (piombo e polistirolo).
- Spinta di Archimede e sua influenza sulle pesate effettuate in aria.
Arriviamo finalmente alla soluzione del problema della profondità del pozzo:
- Soluzioni standard e variazioni [inclusa soluzione per sqrt(h) proposta da alcuni abilitandi]: dettagli su file R sasso_pozzo.R.
- Soluzione spuria: l'elevazione al quadrato 'mischia' il problema "t_c + t_s = t" con "t_s - t_c = t".

Pozzo per il centro della Terra

(Problemino nr. 1) In realtà era già stato parzialmente risolto la volta scorsa: accelerazione proporzionale all'opposto della distanza dal centro della Terra, con coefficiente di proporzionalità, che può essere riscritto come g/R_T.

Per ora lasciamo il problema irrisolto.

Orbita radente alla superficie terrestre

(Problemino nr. 2) Ottimo strumemto concettuale per rivedere diverse questioni legate alla teoria della gravità e sorprendendemente legato al problema precedente e ad altri apparentemente ancora più lontani.

Mele che cadono e luna che ruota: l'idea chiave di Newton:
- figura dai Principi di Newton (con animazione).
Soluzione standard con la forza: la forza centripeta (deducibile dalla sola constatazione che l'oggetto è in orbita circolare) è dovuta alla forza di attrazione (che in prossimità della superficie terrestre vale mg).
[ Nota: pure considerazioni cinematiche ci inducono a ritenere che il corpo sia soggetto ad una accelerazione centripeta; da "f = m×a" ne deduciamo che deve esistere anche una forza centripeta; a seconda della fisica del problema possiamo capire a cosa sia dovuta la forza centripeta. Vedi esperimentino mostrato in aula di bottiglietta rotante legata ad elastico. In altre parole la forza è una sola (gravitazionale, elastica, di attrito statico o di reazione vincolare), alla quale si dà il nome di forza centripeta in quanto diretta verso il centro di curvatura della traiettoria.]
Terza legge di Keplero per la Terra, con parametro 'k' pari a GM/4π².
Soluzione geometrica, molto semplice e molto vicina all'idea originale di Newton che un oggetto in orbita stia in effetti cadendo in continuazione: mentre il corpo cade di gt²/2, esso si sposta orizzontalmente di vt: se il corpo ha un ben preciso valore di v, dopo il tempo t (si pensi a t piccolo, anche se il suo valore è irrilevante) il corpo si ritrova alla stessa distanza dal centro della Terra e il ragionamente si ripete.
Più in generale: espressione della velocità in funzione della distanza dal centro di attrazione: sqrt(GM)/sqrt(R).
Relazione fra le mele che cadono e la luna che ruota:

Ma Newton non conosceva né M né G. La verifica fu fatta, sostanzialmente usando la seconda formula, basata su grandezze accessibili all'epoca:
- g: OK.
- R_T, abbastanza accurate all'epoca, seguendo l'idea originale di Eratostene (in particolare, all'epoca dei fatti, lunghezza del grado di arco di meridiano di 57060 tese, pubblicata da Picard nel 1670).
- d_T.L.?
  - Prima determinazione dovuta ad Ipparco [ e non 'Aristarco'... :-) ] di Samo (270 A.C.), osservando tempo di passaggio della Luna nel "cilindro d'ombra" della Terra durante un'eclissi e trovando d_T.L./R_T = 60, in buon accordo con il valore attuale. (Vedi dettagli, ad esempio, qui.)
    [ Ipparco di Samo stimò anche
    - la grandezza della Luna, confrontando il raggio della sezione del "cilindro d'ombra" intercettato dalla luna con il raggio della luna;
    - la distanza Tera-Sole mediante misura di traiancolazione, ma in questo caso il valore non venne corretto in quanto sarebbe servita una misura di angoli molto più accurata di qualla che poteva effettuare. ]
  - Tecniche di parallasse: il ben noto principio per cui il pollice dritto, con braccio teso davanti agli occhi, sembra spostarsi chiudendo alternativamente gli occhi. Per dettagli, vedi ad esempio su wikipedia. con bellissima immagine che rende bene l'idea.
  - (Sorvoliamo sulle misure di precisione possibili oggigiorno con segnali elettromagnetici.)
Come risolvere GM in G ed M separatamente? Serve un esperimento in laboratorio mediante il quale, note due masse, la loro distanza e la forza fra di esse si determina G: esperimento di Cavendish (1798)
- Per dettagli su cosa fece esattamente Cavendish, vedi qui.)
- Oggi si può comprare il kit dell'esperimento di Cavendish (vedi anche qui).
Concludiamo questo esercizio riscrivendo in notazione vettoriale la forza di attrazione a cui è soggetto il corpo orbitante in funzione del raggio vettore preso dal centro della Terra:

(ove 'r cappuccio' indica il versore).
Le equazioni per le componenti dell'accelerazione ci ricordano qualcosa?.

Forze: esempi pratici con materiale povero

Un po' di ripasso su condizioni di equilibrio, azione e reazione, forze elastiche e di attrito.

Bottiglietta ruotante con visualizzazione della forza centripeta mediante elastichetto.
Corpo posato su tavolo, fermo e tirato mediante elastichetto:
- bilancio delle forze;
- inventario delle coppie azione-reazione.
Attrito statico e attrito dinamico.
Esperimento della scopa per mostrare come il coefficiente di attrito statico sia maggiore di quello dinamico.
Decomposizione forza peso.
Misura del coefficiente di attrito statico mediante piano inclinato (scatola di cioccolatini).
[ Nota: Per fare la misura non c'è bisogno di conoscere cosa sia una tangente: basta lavorare con i triangoli simili e mostrare che quello che interessa è il rapporto fra altezza e base del triangolo rettangolo formato dalla sezione verticale del piano inclinato (in aula abbiamo misurato 14.5/36). ]
Molla: osservazione di dipendenza di allungamento e periodo di oscillazione dalla massa.

Oscillatore armonico

Dopo aver osservato il comportamento della molla, ricordato la famosa F = -k x [da cui a = -(k/m) x] e l'analoga per il pendolo a_θ = - g/l θ (previa la nota approssimazione per piccoli angoli), riprendiamo i problemi del pozzo per il centro della Terra e dell'orbita radente.

Tutte queste equazioni hanno la stessa struttura:
accelerazione = - (costante positiva) × (spostamento da posizione di equilibrio),
con 'costante positiva' avente le dimensioni t^-2
La (2) è la proiezione di un moto circolare uniforme, del quale abbiamo già calcolato il periodo: T = 2π×sqrt(R_T/g). Ne segue che (2) descrive un moto oscillatorio con quel periodo.
La (1) e la (2) ci mostrano che il problema del pozzo per il centro della Terra può essere visto come la proiezione del problema dell'orbita radente: mentre un oggetto orbita, l'altro va avanti e indietro nel pozzo e, se se erano opportunamente sincronizzati, si reincontrano ogni volta alle due aperture del pozzo.
La (3) ci va vedere direttamente di che tipo di moto oscillatorio si tratta, nel senso che l'oscillazione della molla la vediamo con i nostri occhi.
La (4) ci dà un'informazione analoga, a parte il fatto che è solo nell'approssimazione di piccoli angoli (ma anche una molla reale più di tanto non si può allungare/accorciare...).
Indicando la 'costante positiva' con ω² e, confrontando con il periodo del problema dell'orbita radente, abbiamo che, in generale, T = 2π / ω:
Nota: un moto oscillatorio armonico può essere visto come la proiezione di un moto circolare uniforme, ma
- Soltanto in alcuni casi (ad esempio pozzo per il centro della Terra) tale moto circolare uniforme è virtualmente concepibile come fenomeno fisico reale.
- Negli altri casi (pendolo e molla), esso è solo un'astrazione matematica. In particolare, nel caso del pendolo, ω che sembra una velocità angolare, non va confusa con la velocità angolare di oscillazione che, come si intuisce, non è affatto costante durante l'oscillazione.
  Per essere più precisi, ω è, in questo contesto, una pulsazione e non una velocità angolare 'fisica' (ripetiamo, la pulsazione ω rappresenta la velocità angolare del moto circolare uniforme astratto associato all'oscillazione armonica).

Referenze (oltre ad appunti lezione, manuali standard e questa URL):

GdA, Errori e incertezze di misura - Rassegna critica e proposte per l'insegnamento (anche nel cd distribuito): pp. 63-64 (densità aria e pesata di polistirolo).
GdA, Appunti di Fisica 1: vedi qui (anche sul cd distribuito, file F1_lezioni.pdf):
- pp. 10-13: a(t) -> v(t) -> s(t);
- p. 29: T² / R³, con ulteriori osservazioni su significato di "forza centripeta = forza gravitazionale";
- p. 32: attrito statico e dinamico;
- p. 38: forza centripeta dovuta ad attrito statico;
- p. 45: derivazione di "f = - k x" per molla posta verticalmente (anche con allungamento non perfettamente lineare, purché si considerino in tal caso piccole oscillazioni);
- p. 46: pozzo per il centro della Terra.

Alcuni problemini sui quali meditare in preparazione del prossimo incontro: versione ps e pdf

9 Dicembre

Forze note e reazioni vincolari

Prendiamo spunto dal problemino nr. 2, prototipo di tanti altri problemi con funi, carrelli e carrucole, per rivedere come affrontare le forze di reazione vincolari:

Siccome le reazioni vincolari si 'adattano' alle altre in gioco (finché i vincoli tengono...) sono delle incognite del problema.
I valori numerici vengono trovati confrontando la cinematica con quanto ci si aspetta dalle altre forze note.
Caso specifico: mg - T = F_tot => a = F_tot / m => T = m (g - a):
- a = 0 (corpo fermo, o v costante!): => T = mg.
- a = g (corpo cade con accelerazione g): => T = 0.
  => caduta libera: non essendoci forze relative fra i corpi che cadono si ha il famoso e spesso male interpretato fenomeno della 'assenza di peso'.
- a = -g (corpo sale con accelerazione g): => T = 2mg.
Esempio pratico delle busta di plastica con manico che sta per cedere.
Provare a sperimentare, con pesanti buste della spesa, quando l'ascensore parte o frena.

Lavoro, energia e tanto altro

Azione e reazione, quantità di moto ed urti

Prendiamo spunto dal problemino nr. 3, proseguendo per 4, 5, 6 e 7.

È istruttivo risolvere almeno una volta (che per un docente significa ad ogni infornata di studenti nuovi), e a diversi livelli di approssimazione, il problema del cannoncino usando solo cinematica e il principio di azione-reazione.
(Per i dettagli vedi file cannoncino.R)
Indipendenza della soluzione dalla lunghezza della canna del cannone: velocità finale del cannoncino dipende sono da quella del proiettile e del rapporto di masse.
V/v = -m/M, che, in realtà vale più in generale nella forma ΔV / Δv = k = -m/M, storicamente deriva dal lavoro di Huygens ed altri e fu utilizzata da Newton nella sua sintesi.
Quantità di moto e sua conservazione in sistemi isolati.
Impulso [area sotto la curva F(t)], quantità di moto e loro connessione (ed erronea identificazione! - vedi probl. nr. 5 e, per analogia, il nr. 6 e, per capire ancora meglio l'errore, si pensi alla frase "una particella ha un lavoro di 3 Joule").
Centro di massa e sue proprietà (si ricordi la NOTA).
Urto completamente anelastico e pendolo balistico.
Urto completamente elastico unidimensionale:
- Condizioni di base: conservazione di quantità, di moto ed energia cinetica.
- Conservazione della somma della somma delle velocità per ciascuna particella v₁ + v₁' = v₂ + v₂'
- ... o, equivalentemente, "inversione della velocità relativa": v₂' - v₁' = - (v₂ - v₁),
- ... ovvero v₂' = (v₁ + v₁') - v₂
- ... e suo uso quando una delle due particelle ha massa 'infinita' rispetto all'altra (una particella di massa 'infinita' ha inerzia infinita e quindi non può cambiare stato di quiete o di moto):
  - urto contro una parete, ferma o in movimento: il colpo di rimpallo; urto boccia contro boccino fermo e boccino contro boccia ferma;
  - esperimento improvvisato della pallina pesante contro pallina da ping pong e stima qualitativa (non male!) del rapporto delle velocità dopo l'urto (mediante gittata dal tavolo);
  - esperimento quasi improvvisato dell'"amplificatore di velocità" costituito da rimbalzo di due palline sovrapposte (la più leggera sopra; il problema tecnico è mantenere le palline unite (ma non legate) mentre cadono e far sì che al momento dell'urto le palline siano ancora sovrapposte).
  - Amplificazione a cascata della velocità e frusta (vedi anche Bullwhip e ... sciucaren).

Frenamento viscoso, legge temporale di termalizzazione e processi esponenziali

Prendiamo spunto dai problemi nr. 13 e 14 e, prima ancora, dal classico problema delle gocce d'acqua o del paracadutista.

Problema della velocità limite di un corpo soggetto a forza gravitazionale e attrito di viscosità. Per definizione di v_A ('A' sta per asintotica, o limite), a quella velocità non c'è accelerazione e quindi è nulla la somma delle forze: m g - β v_A = 0 => v_A = m g / β.
In generale, data una forza motrice F_M abbiamo v_A = F_M / β.
Un problema più interessante è quello di trovare come varia la velocità da quella iniziale v₀ a quella asintotica v_A:

[L'equazione differenziale (3) è stata risolta per separazione di variabili e τ è un parametro avente le dimensioni di un tempo, noto come "costante di tempo": minore esso è e più rapido è il processo: si noti la sua dipendenza da β e da m.]
Ovviamente, questo à risultato è generale: ogni volta che incontriamo un'equazione differenziale tipo (3), ovvero la velocità di variazione di una certa grandezza dipende linermente dalla sua differenza rispetto ad un certo valore otteniamo come risultato una soluzione tipo (4).
Per sfruttare al volo questa possibilità di analogia vediamo il processo di termalizzazione in funzione del tempo:
- Innanzitutto i problemini 17-21 erano da considerarsi di 'riscaldamento' sull'argomento e soggetto di studio individuale.
- Empiricamente, la velocità di scambio termico dipende linearmente dal gradiente di temperatura rispetto all'ambiente (stiamo lavorando nell'ipotesi che sia solo un corpo a cambiare di temperatura, mentre l'altro lo si considera di capacità termica infinita).
- Otteniamo quindi:
  
  ove il passaggio dalla (4) alla (5) deriva dall'analogia con il caso precedente. La costante di tempo è data ora da C/η: maggiore è C e minore è η e più lento è il processo di termalizzazine (ovvero τ è grande): un recipiente grande mantiene meglio la temperatura.
Altri processi interessanti che seguono queste leggi sono la carica e scarica del condensatore, i decadimenti radioattivi, vari processi di assorbimento, crescita/decrescita di popolazioni (ad esempio la famosa 'crescita esponenziale'), etc. [Ovviamente questi cenni sono fuori programma.]
Altro esempio didatticamente interessante di crescita esponenziale: il tacchino esponenziale: mangia proporzionalmente al suo peso e aumento di peso esattamente di quanto mangia. (Un abilitando ci ha detto che uno dei dinosauri più grandi - il tirannosauro, se ricordo bene - avesse un comportamento del genere.)
Dal punto di vista didattico, il solito problema è quello che, al livello liceale, al momento in cui si trattano questi argomenti, gli studenti non hanno gli strumenti matematici per analizzarli in modo rigoroso.
- Una via d'uscita è offerta dal calcolo numerico, ad esempio come sviluppato per il corso parallelo di Fisica di Base 2.
- Un'altra possibilità è quella di lavorare sul discreto e fare, successivamente opportuni limiti.
  - Chiamiamo con x la generica differenza fra il valore istantaneo e il valore asintotico e consideriamo delle piccole variazioni Δx in Δt:
    
    -> la variazione relativa ('percentuale') della variabile è proporzionale all'intervallo di tempo.
    Possiamo riscrivere la stessa equazione come
    
    -> il tasso di crescita/decrescita (a seconda del segno di α) di una variabile è proporzionale al valore della variabile.
    
    Si tratta ora di capire come varia x con il tempo. Cominciamo a vedere cosa succede dopo Δt, dopo 2Δt, etc., partendo dal valore x₀ all'istante t=0:
    
    Si tratta quindi di una progressione geometrica di ragione (1+αΔt), maggiore o minore di 1 a seconda del segno di α.
    Dopo un tempo t = nΔt si ha quindi
    
    Immaginiamo di 'affettare' ora il tempo t in tantissimi intervallini Δt. Al limite, il numero di intervallini diventa infinito e la loro ampiezza nulla.. Si tratta di trovare quindi il limite
    
    Cerchiamo di capire quanto vale questo limite in modo 'pratico', non rigoroso, analizzando la seguente tabella compilata con αt=1 e αt=-1.
    
    Come si può verificare facilmente, il limite converge a e^αt, ove e è la costante di Eulero, base dei logaritmi naturali (in effetti, vedi bibliografie, una delle definizioni di e è proprio legata a questo limite.
    In conclusione, la soluzione cercata è
  Bibliografia su limite a esponenziale:
  - Costante e di Eulero: vedi qui o qui (quest'ultimo soprattutto per l'equivalenza fra le due definizioni più note).

[Ovviamente, alcuni di questi dettagli finali sono stati dati per motivo di completezza e non saranno argomento d'esame].

FINE

Programma e modalità d'esame

Programma d'esame

Grandezze fisiche e unità di misura.
- Metro, chilogrammo e secondo: definizioni storiche e moderne.
- Cenni storici sull'origine del metro. In particolare:
  - Unità prese dalla natura: scelta fra meridiano, equatore e pendolo del secondo.
  - Pendolo del secondo, metro cattolico e peso cattolico.
  - Misure del meridiano; schiacciamento della Terra; sfera, ellissoide e geoide. Il problema della longitudine.
  - Altra unità derivante dal meridiano: miglio nautico (e nodo per la velocità).
- Cambiamenti di unità, in particolare misure di potenza.
- Controllo dimensionale dei risultati ed uso di argomenti dimensionali per ottenere formule a meno di fattori adimensionali.
Moto rettilineo uniforme e problemi tipici, con approcci sia algebrici che geometrici.
Moto circolare uniforme. Moti periodici e misure di periodo/frequenza in sistemi inerziali in moto relativo: effetto Doppler.
Moto vario ed uso dei diagrammi orari:
- x(t)->v(t)->a(t): 'pendenze', rapporti incrementali e derivate.
- a(t)->v(t)->x(t): 'aree' e loro calcolo: semplici figure geometriche; somma di rettangolini (tecniche numeriche) e metodi analitici (integrali).
Moto uniformemente accelerato senza integrali: valutazione con aree o con velocità medie.
Moto in più dimensioni. Vettori e versori.
Forze e loro composizione/decomposizione,
Principi della meccanica e loro applicazione. Massa inerziale e massa gravitazionale.
Alcune forze: gravitazionale, elettrica, elastica, di viscosità ('-βv'), attrito statico e dinamico, spinta di Archimede.
Teorema di Gauss per forze che vanno come 1/r² e teorema dei 'gusci', con applicazioni tipiche.
Moti planetari intorno al sole e di satelliti intorno alla Terra: leggi di Keplero (in particolare dimostrazione della terza legge per orbite circolari); orbita geostazionaria; dipendenza della velocità dalla distanza. Unità astronomica. Giorno siderale e giorno solare. Lune di Giove e loro importanza storica.
Alcune misure storiche: dimensioni della Terra (Eratostene); dimensioni relative Terra/Luna, distanza Terra-Luna e Terra-Sole (Ipparco di Samo); velocità della luce (Rømer).
Moto armonico, introdotto con l'approccio dell'analogia: proiezione del moto circolare uniforme; pozzo per centro della Terra; molla; pendolo.
Impulso e quantità di moto. Conservazione della quantità e suo utilizzo nei problemi di meccanica. Centro di massa.
Lavoro ed energia cinetica. Lavoro in 3D e prodotto scalare. Potenza. Forze conservative ed energia potenziale.
Espressione dell'energia potenziale in alcuni casi notevoli (ricavata con e senza integrali!): generico oscillatore armonico, molla, pendolo, gravità in prossimità della superficie di corpo sferico, gravità in generale (per corpi puntiformi o sferici), forza elettrostatica.
Energia cinetica, potenziale e totale per orbite circolari. Potenziale gravitazionale ed elettrico. Stati legati. Velocità di fuga.
Dalle curve di energia potenziale alle forze. Punti di equilibrio.
Urti elastici ed anelastici. Regola della "inversione della velocità relativa" nei problemi elastici unidimensionali: v₂' - v₁' = - (v₂ - v₁).
Temperatura, quantità di calore, capacità termica e calore specifico. Connessione fra energia meccanica e termica. Conversione caloria<->Joule. Scambi termici in sistemi isolati. Processo di termalizzazione.
Equazione di stato dei gas perfetti.
Andamenti esponenziali, introdotti con l'approccio dell'analogia: velocità limite in problemi con attrito di viscosità; termalizzazione. Costante di tempo τ.

Modalità d'esame

L'esame consiste in quesiti e problemini.

I quesiti possono essere sia a scelta multipla commentata che a breve e concisa risposta aperta.
Per "scelta multipla commentata" si intende che sono proposte diverse soluzione, delle quali bisogna sceglierne una e giustificarla in modo telegrafico.
Esempi di risposte (la giustificazione è fra parentesi):
- A (le altre non conservano energia)
- 0.87 (in quanto sin(x) <= 1)
- Sì (è quanto risulta storicamente)
- C (in quanto gt²/2)
Risposte non commentate saranno considerate casuali e quindi non prese in considerazione.
Per i problemini si raccomanda di dare una risposta schematica e chiara. È consentito (e raccomandato) l'uso di una calcolatrice scientifica tascabile personale (niente scambi e prestiti durante l'esame; niente laptop, palmari, cellulari, etc.).
Se nei problemini risulta mancare qualche dato, esso o è assunto noto (anche se non in modo esatto) oppure è irrilevante.
Sia per il tipo di corso che per questioni organizzative non sarà possibile fare domande sul testo:
- Se un dato sembra mancare (in genere non è segno buono!), se ne ipotizzi un valore ragionevole (scrivendolo chiaramente) e si risolvi il problema di conseguenza.
- Se un problema sembra impossibile o assurdo, si scriva semplicemente che è impossibile o assurdo, assumendosene la responsabilità